Question

1．若曲線x²+y²=5與曲線x²+y²-2mx+m²-20=0（m∈R）相交于A，B兩點，且兩曲線A處的切線互相垂直，則m的值是±5．

Answer 1

分析 由題意畫出已知兩個圓的圖象，利用圓的性質(zhì)可以得到兩切線互相垂直時應該過對方的圓心，O₁A⊥AO₂，由勾股定理可得m的值．

解答 解：由題知圓O₁（0，0），O₂（m，0），
x²+y²-2mx+m²-20=0即為（x-m）²+y²=20，
半徑分別為$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$，
根據(jù)兩圓相交，
可得圓心距大于兩圓的半徑之差而小于半徑之和，
即$\sqrt{5}$＜|m|＜3$\sqrt{5}$，
又O₁A⊥O₂A，所以有 m²=（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=25，
∴m=±5．
故答案為：±5．

點評 本題主要考查圓的標準方程、兩直線的位置關(guān)系、直線和圓相切的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．