Question

9．雙曲線$M：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，記|F₁F₂|=2c，以坐標原點O為圓心，c為半徑的圓與雙曲線M在第一象限的交點為P，若|PF₁|=c+2，則P點的橫坐標為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 求得圓O的方程，聯(lián)立雙曲線的方程，求得P的橫坐標，再由雙曲線的定義，和直角三角形的勾股定理，可得c，b，化簡整理可得所求橫坐標的值．

解答 解：坐標原點O為圓心，c為半徑的圓的方程為x²+y²=c²，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{{c}^{2}+^{2}}{^{2}+1}$，
由|PF₁|=c+2，
由雙曲線的定義可得|PF₂|=|PF₁|-2a=c+2-2=c，
在直角三角形PF₁F₂中，可得c²+（c+2）²=4c²，
解得c=1+$\sqrt{3}$，
由c²=a²+b²=1+b²，可得b²=3+2$\sqrt{3}$，
可得P的橫坐標為$\sqrt{\frac{7+4\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直徑所對的圓周角為直角，以及勾股定理的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．