Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的點P到左、右兩焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2$\sqrt{2}$，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在同時滿足①②兩個條件的直線l？
①過點M（0，$\frac{1}{3}$）；
②存在橢圓上與右焦點F₂共線的兩點A、B，且A、B關于直線l對稱．

Answer 1

分析 （I）由橢圓定義和離心率，列出方程組，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）當直線l與y軸重合時，l的方程為x=0；當直線l與x軸平行時，不符合條件； 當直線l既不與x軸平行，又不與y軸重合時，設直線AB的方程為y=k（x-1），直線l的方程為y=-$\frac{1}{k}x+\frac{1}{3}$，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韋達定理、根的判別式能求出結果．

解答 解：（I）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的點P到左、右兩焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2$\sqrt{2}$，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a=2\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{2}$，c=1，b=$\sqrt{2-1}$=1，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．…（4分）
（Ⅱ）①假設存在符合條件的直線l，
當直線l與y軸重合時，兩點A、B可位于長軸兩個端點，符合條件．
此時l的方程為x=0； …（5分）
②當直線l與x軸平行時，不符合條件； …（6分）
③當直線l既不與x軸平行，又不與y軸重合時，
由F₂（1，0），可設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線l的方程為y=-$\frac{1}{k}x+\frac{1}{3}$，
聯(lián)立直線AB與橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化簡得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的中點坐標為G（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$）．
結合題意知點G在直線l上，∴$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$•$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{1}{3}$，
整理得：2k²-3k+1=0，解得k=1或k=$\frac{1}{2}$，
此時直線l的方程為y=-x+$\frac{1}{3}$或y=-2x+$\frac{1}{3}$． …（13分）
綜上所述，存在符合條件的直線l，方程分別為x=0，y=-x+$\frac{1}{3}$或y=-2x+$\frac{1}{3}$．…（14分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．