Question

3．已知點(diǎn)P是圓C：x²+y²-8x-8y+28=0上任意一點(diǎn)，曲線N：x²+4y²=4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與曲線N交于點(diǎn)M，記直線MA，MB，OP的斜率分別為k₁，k₂，k₃，則k₁•k₂•k₃的取值范圍是[$-\frac{4+\sqrt{7}}{12}，-\frac{4-\sqrt{7}}{12}$]．

Answer 1

分析 化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出OP所在直線斜率，由OP與圓相切求出k的范圍，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出M的坐標(biāo)，得到MA，MB的斜率，作積后求得答案．

解答 解：如圖，
由圓C：x²+y²-8x-8y+28=0，得（x-4）²+（y-4）²=4，
由曲線N：x²+4y²=4，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴A（-2，0），B（2，0），
設(shè)k₃=k，則OP方程為y=kx，
由C（4，4）到直線kx-y=0的距離d=$\frac{|4k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，
解得：$k=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$或$k=\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
∴k的取值范圍為[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}，\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得M（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}，\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$）（不妨取M為第一象限的點(diǎn)），
則${k}_{1}=\frac{\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}}{\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}+2}=\frac{k}{1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，${k}_{2}=\frac{\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}}{\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}-2}$=$\frac{k}{1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴k₁•k₂•k₃ =$\frac{k}{1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}•\frac{k}{1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}•k$=$-\frac{k}{4}$．
∵k∈[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}，\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]，
∴k₁•k₂•k₃ =$-\frac{k}{4}$∈[$-\frac{4+\sqrt{7}}{12}，-\frac{4-\sqrt{7}}{12}$]．
故答案為：[$-\frac{4+\sqrt{7}}{12}，-\frac{4-\sqrt{7}}{12}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓，與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．