Question

10．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a₁+a₂+…+a_n=n²•a_n，求a_n．

Answer 1

分析 由已知遞推式得到${S}_{n}={n}^{2}{a}_{n}$，取n=n-1得${S}_{n-1}=（n-1）^{2}{a}_{n-1}$，兩式作差后可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$，然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：由a₁+a₂+…+a_n=n²•a_n，得${S}_{n}={n}^{2}{a}_{n}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=（n-1）^{2}{a}_{n-1}$，
兩式作差得：${a}_{n}={n}^{2}{a}_{n}-（n-1）^{2}{a}_{n-1}$，
即$（{n}^{2}-1）{a}_{n}=（n-1）^{2}{a}_{n-1}$，
∴（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$．
則：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}，\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{4}，\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{3}{5}，\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{4}{6}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$．
以上各式累積得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{2}{n（n+1）}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．