Question

2．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點P（a，$\frac{7}{8}$）到焦點距離為1．
（1）求拋物線C的方程；
（2）直線y=kx+2交C與M、N兩點，Q是線段MN的中點，過Q作x軸的垂線交C于點T．
①證明：拋物線C在點T處的切線與MN平行；
②是否存在實數(shù)k使$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=0，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）①設M（x₁，2x₁²），N（x₂，2x₂²），把直線方程代入拋物線方程消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進而求得TM的坐標，設拋物線在點T處的切線l的方程將y=2x²代入進而求得m和k的關系，進而可知l∥MN．
②假設存在實數(shù)k，使$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=0成立，則可知TM⊥TN，又依據(jù)Q是MN的中點進而可知|TQ|=$\frac{1}{2}$|MN|．根據(jù)①中的條件，分別表示出|TQ|和|MN|代入求得k．

解答 （1）解：∵拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點P（a，$\frac{7}{8}$）到焦點距離為1，
∴$\frac{7}{8}$+$\frac{p}{2}$=1，
∴p=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線C的方程為x²=$\frac{1}{2}$y；
（2）①證明：設M（x₁，2x₁²），N（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韋達定理得x₁+x₂=$\frac{k}{2}$，x₁x₂=-1，
∴T點的坐標為（$\frac{k}{4}$，$\frac{{k}^{2}}{8}$）．
設拋物線在點T處的切線l的方程為y-$\frac{{k}^{2}}{8}$=m（x-$\frac{k}{4}$），
將y=2x²代入上式得$2{x}^{2}-mx+\frac{mk}{4}-\frac{{k}^{2}}{8}$=0，
∵直線l與拋物線C相切，
∴△=m²-8（$\frac{mk}{4}$-$\frac{{k}^{2}}{8}$）=（m-k）²=0，
∴m=k，即l∥MN．
②解：假設存在實數(shù)k，使$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=0，則TM⊥TN，
又∵Q是MN的中點，∴|TQ|=$\frac{1}{2}$|MN|．
由①知y_Q=$\frac{{k}^{2}}{4}$+2．
∵TQ⊥x軸，
∴|TQ|=$\frac{{k}^{2}}{4}$+2-$\frac{{k}^{2}}{8}$=$\frac{{k}^{2}+16}{8}$．
又|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}+16}$．
∴$\frac{{k}^{2}+16}{8}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}+16}$．，
解得k=±2．
即存在k=±2，使$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=0．

點評 本題主要考查了拋物線的方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合把握所學知識和基本的運算能力．