Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（4x）•log₂（$\frac{x}{2}$），$\frac{1}{4}$≤x≤4．
（1）求f（$\frac{1}{2}$）；
（2）若t=log₂x，求t的取值范圍；
（3）求f（x）的最值，并給出最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）代值計(jì)算即可，
（2）根據(jù)t=log₂x在$\frac{1}{4}$≤x≤4為增函數(shù)，即可求出t的取值范圍，
（3）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)f（x），采用（2）的換元，根據(jù)二次函數(shù)的性求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f（1）=log₂2•log₂（$\frac{1}{4}$）=1×（-2）=-2，
（2）∵t=log₂x在$\frac{1}{4}$≤x≤4為增函數(shù)，
∴l(xiāng)og₂$\frac{1}{4}$≤t≤log₂4，
∴-2≤t≤2，
（3）f（x）=log₂（4x）•log₂（$\frac{x}{2}$）=（2+log₂x）（log₂x-1），
∴f（t）=（2+t）（t-1）=t²+t-2，（-2≤t≤2），
∴f（t）在[-2，-$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，在（-$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
∴f（t）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，f（t）_max=f（2）=4，
∴l(xiāng)og₂x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，log₂x=2，x=4，
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f（x）有最小值，最小值為-$\frac{9}{4}$，
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值，最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．