Question

8．設(shè)x＞0，y＞0，定義x?y=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，則[（x?y）²+2（x?y）（y?x）]_max等于（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)新定義求出（x?y）²+2（x?y）（y?x）的表達(dá)式并進(jìn)行化簡，利用換元法構(gòu)造函數(shù)z，求出函數(shù)z的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)區(qū)間和極大值，即可求出原函數(shù)的最大值．

解答 解：由題意得，x＞0，y＞0，定義x?y=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
∴（x?y）²+2（x?y）（y?x）=$（\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}）^{2}$+2$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}•\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1+\frac{2y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
設(shè)t=$\frac{y}{x}$，則t＞0，代入上式可得z=$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$，
則z′=$\frac{（1+2t）′（1+{t}^{2}）-（1+2t）（1+{t}^{2}）′}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{2（1-t-{t}^{2}）}{{（1+{t}^{2}）}^{2}}$=$\frac{2[-（{t+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{5}{4}]}{{（1+{t}^{2}）}^{2}}$，
由z′=0得1-t-t²=0，解得t=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∵t＞0，∴t=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∴當(dāng)$t∈（0，\frac{-1+\sqrt{5}}{2}）$時，z′＞0；當(dāng)$t∈（\frac{-1+\sqrt{5}}{2}，+∞）$時，z′＜0，
∴函數(shù)z=$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$在$（0，\frac{-1+\sqrt{5}}{2}）$上遞增，在$（\frac{-1+\sqrt{5}}{2}，+∞）$上遞減，
則當(dāng)t=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$時，函數(shù)z取到極大值也是最大值，z=$\frac{1+2×\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}{1+{（\frac{-1+\sqrt{5}}{2}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴（x?y）²+2（x?y）（y?x）的最大值是$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查新定義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值，以及換元法求出函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．