Question

18．已知函數f（x）=tanx-sinx，下列命題中正確的是②③（寫出所有正確命題的序號）
①f（x）的周期為π；              ②f（x）的圖象關于點（π，0）對稱；
③f（x）在（$\frac{π}{2}，π$）上單調遞增；   ④f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上有3個零點．

Answer 1

分析 由條件利用誘導公式，正弦函數、正切函數的單調性以及它們的圖象的對稱性，函數零點的定義，逐一判斷它們的正確性，從而得出結論．

解答 解：①錯誤．∵f（x+π）=tan（x+π）-sin（x+π）=tanx+sinx；f（x+π）=f（x）不恒成立，故f（x）的周期不是π．
②正確．∵f（π+x）+f（π-x）=tan（π+x）-sin（π+x）+tan（π-x）-sin（π-x）=tanx+sinx-tanx+sinx=0，故f（x）的圖象關于點（π，0）對稱．
③正確．∵y=tanx在$（\frac{π}{2}，π）$上單調遞增，y=sinx在$（\frac{π}{2}，π）$上單調遞減，故f（x）=tanx-sinx在（$\frac{π}{2}，π$）上單調遞增．
④錯誤．在同一坐標系中作出函數y=tanx和y=sinx在區(qū)間$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$上的圖象，
由圖象探知共有1個交點（或在該區(qū)間上解方程tanx-sinx=0，得僅有一個根x=0）．
故答案為：②③．

點評 本題主要考查誘導公式，正弦函數、正切函數的單調性以及它們的圖象的對稱性，函數零點的定義，屬于基礎題．