Question

17．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，且是以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)PF₂，與雙曲線交于點(diǎn)Q．若|PF₁|=|QF₂|，則直線PF₂的斜率為（　�。�

• A． -3
• B． -1
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)直線PF₂的傾斜角為α，則|PF₁|=|QF₂|=2csinα，|PF₂|=-2ccosα，可得2a=2csinα+2ccosα，△F₁F₂Q中，由余弦定理，化簡(jiǎn)可得tanα，即可求出直線PF₂的斜率．

解答 解：設(shè)直線PF₂的傾斜角為α，
則|PF₁|=|QF₂|=2csin（180°-α）=2csinα，
|PF₂|=2ccos（180°-α）=-2ccosα，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=2csinα+2ccosα，
△F₁F₂Q中，由余弦定理可得
（2csinα+2csinα+2ccosα）²=4c²+（2csinα）²-2•2c•（2csinα）•cosα，
化簡(jiǎn)可得4=12sin²α+4cos²α+24sinαcosα，
即為sinα+3cosα=0，
可得tanα=-3，
即直線PF₂的斜率為-3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義和三角形的余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．