Question

12．以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線C的一條漸近線的斜率為$\sqrt{3}$，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． 2或$\sqrt{3}$
• B． 2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 討論雙曲線的焦點在x軸或y軸上，設出雙曲線的方程，求得漸近線方程，運用斜率，和離心率公式計算即可得到．

解答 解：若雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
漸近線的方程為y=±$\frac{a}$x，由題意可得b=$\sqrt{3}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2；
若雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
漸近線的方程為y=±$\frac{a}$x，由題意可得a=$\sqrt{3}$b，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
綜上可得e=2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意討論雙曲線的焦點位置，運用漸近線方程，考查運算能力，屬于中檔題．