Question

11．一個四面體的某個頂點上的三條棱兩兩垂直，這三條棱的長度分別為1、2、3，則這三條棱與此四面體的不經(jīng)過這個頂點的一個面所成角大小的余弦的最大值為$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，求出三條棱與平面所成角的余弦值得出最大值．

解答 解：設(shè)四面體O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=2，OC=3．
以O(shè)為原點，以O(shè)A，OB，OC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，3）.$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，0，3）．
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{-x+3z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\frac{3}{2}$，1）．
∴|cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{3}{\frac{7}{2}}$=$\frac{6}{7}$．
|cos＜$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{3}{2•\frac{7}{2}}$=$\frac{3}{7}$，
|cos＜$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{3•\frac{7}{2}}$=$\frac{2}{7}$．
∴OA，OB，OC與平面ABC所成角的正弦值分別為$\frac{6}{7}$，$\frac{3}{7}$，$\frac{2}{7}$，
∴OA，OB，OC與平面ABC所成角的余弦值分別為$\frac{\sqrt{13}}{7}$，$\frac{2\sqrt{10}}{7}$，$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．
∴三條棱與平面ABC所成角的余弦值最大為$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{7}$

點評 本題考查了空間向量與線面角的計算，屬于中檔題．