Question

19．兩圓x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三條公切線，則a+2b的最大值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標準方程求出圓心和半徑，可得a²+4b²=9，再利用三角換元，求a+2b的最大值．

解答 解：由題意可得兩圓相外切，兩圓的標準方程分別為 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為2和1，故有$\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}$=3，∴a²+4b²=9，
設(shè)a=3cosα，b=$\frac{3}{2}$sinα，
∴a+2b=3cosα+3sinα=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=1時，a+2b的最大值為3$\sqrt{2}$
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的性質(zhì)，圓的標準方程的特征，得到a²+4b²=9是解題的關(guān)鍵和難點．