Question

7．已知m，n均為正數(shù)，曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1過定點A（1，$\sqrt{2}$），則m+n的最小值是（　　）

• A． 2（$\sqrt{2}$+1）
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． （$\sqrt{2}$+1）²
• D． 4（$\sqrt{2}$+1）²

Answer 1

分析 由題意可得正數(shù)m、n滿足$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=1，整體代入可得m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵m，n均為正數(shù)，曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1過定點A（1，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=1，∴m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）
=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$+1）²，
當且僅當$\frac{n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即n=$\sqrt{2}$m時取等號，
聯(lián)立$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=1可解得m=$\sqrt{2}$+1且n=2+$\sqrt{2}$時取等號．
故選：C．

點評 本題考查基本不等式求最值，整體代入并化為可用基本不等式的形式是解決問題關鍵，屬基礎題．