Question

14．已知函數(shù)f（x）=msinx+ncosx（m，n為常數(shù)，m，n≠0）的一個極大值點為$\frac{π}{4}$，若函數(shù)y=f（$\frac{π}{3}$-ωx）的圖象關于點（$\frac{7π}{12}$，0）中心對稱，則ω的值不可能為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 13
• D． -$\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=msinx+ncosx（m，n為常數(shù)，m，n≠0）的一個極大值點為$\frac{π}{4}$，可知：x=$\frac{π}{4}$時取得最大值，于是$msin\frac{π}{4}$+n$cos\frac{π}{4}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，化為：m=n．可得f（x）=$\sqrt{2}$m$sin（x+\frac{π}{4}）$，因此函數(shù)y=f（$\frac{π}{3}$-ωx）=$\sqrt{2}m$$sin（\frac{π}{3}-ωx+\frac{π}{4}）$，由于上述函數(shù)的圖象關于點（$\frac{7π}{12}$，0）中心對稱，可得m•$\sqrt{2}$$sin（\frac{7π}{12}-\frac{7π}{12}ω）$=0，化為$\frac{7π}{12}$-$\frac{7π}{12}$ω=kπ，即可判斷出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=msinx+ncosx（m，n為常數(shù)，m，n≠0）的一個極大值點為$\frac{π}{4}$，
即x=$\frac{π}{4}$時取得最大值，
∴$msin\frac{π}{4}$+n$cos\frac{π}{4}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，化為：m=n．
∴f（x）=$\sqrt{2}$m$sin（x+\frac{π}{4}）$，
∴函數(shù)y=f（$\frac{π}{3}$-ωx）=$\sqrt{2}m$$sin（\frac{π}{3}-ωx+\frac{π}{4}）$，
∵上述函數(shù)的圖象關于點（$\frac{7π}{12}$，0）中心對稱，
∴m•$\sqrt{2}$$sin（\frac{7π}{12}-\frac{7π}{12}ω）$=0，
∴$\frac{7π}{12}$-$\frac{7π}{12}$ω=kπ，
化為7-7ω=12k，k∈Z．
經(jīng)過驗證：當ω=2時，k=$\frac{-7}{12}$不是整數(shù)，不符合題意．
因此ω的值不可能為2．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．