Question

13．a(chǎn)_n+1=$\frac{n}{n+1}$a_n+1，且a₁=1，則a_n=$\frac{n+1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求出數(shù)列前幾項(xiàng)，猜測(cè)、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：由a_n+1=$\frac{n}{n+1}$a_n+1，且a₁=1得：
${a}_{2}=\frac{1}{2}×1+1=\frac{3}{2}$，${a}_{3}=\frac{2}{3}{a}_{2}+1=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}+1=2=\frac{4}{2}$，
${a}_{4}=\frac{3}{4}{a}_{3}+1=\frac{3}{4}×2+1=\frac{5}{2}$，${a}_{5}=\frac{4}{5}{a}_{4}+1=\frac{4}{5}×\frac{5}{2}+1=\frac{6}{2}$，
…
由此猜測(cè)：${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
${a}_{1}=1=\frac{2}{2}=\frac{1+1}{2}$，命題成立；
假設(shè)n=k（k∈N^*且k≥1）命題成立，即${a}_{k}=\frac{k+1}{2}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，${a}_{k+1}=\frac{k}{k+1}{a}_{k}+1=\frac{k}{k+1}•\frac{k+1}{2}+1=\frac{k+2}{2}$=$\frac{（k+1）+1}{2}$，命題成立．
綜上，對(duì)于任意n∈N^*，都有${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$成立．
故答案為：$\frac{n+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了利用猜測(cè)、歸納的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的方法，是中檔題．