Question

13．雙曲線mx²-3y²=3m的離心率e是方程2x²-5x+2=0的一個根，求：
（1）此雙曲線的虛軸的長．
（2）與雙曲線及雙曲線的兩漸近線都相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的離心率，然后求解雙曲線方程，即可得到雙曲線的虛軸的長．
（2）求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)出圓的圓心與半徑，列出方程求解即可．

解答 解：（1）方程2x²-5x+2=0的根，分別為：$\frac{1}{2}$和2，雙曲線mx²-3y²=3m的離心率e是方程2x²-5x+2=0的一個根，可得e=2，
雙曲線mx²-3y²=3m化為：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$，可得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{m}$，c=2$\sqrt{3}$．
所以：12=3+m，解得m=9．
（2）由（1）可知雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
雙曲線的漸近線方程為：y=$±\sqrt{3}x$．
設(shè)圓的圓心為：（t，0），t∈（0，$\sqrt{3}$）則圓的半徑為：$\sqrt{3}-t$，
圓與雙曲線及雙曲線的兩漸近線都相切，可得：$\frac{|\sqrt{3}t|}{\sqrt{1+3}}=\sqrt{3}-t$，
解得t=4$\sqrt{3}$-6．
圓的圓心坐標為：（4$\sqrt{3}-$6，0）或（6-4$\sqrt{3}$，0）半徑為：6-3$\sqrt{3}$．
所求圓的方程為：（x+6-4$\sqrt{3}$）²+y²=（6-3$\sqrt{3}$）²．或（x-6+4$\sqrt{3}$）²+y²=（6-3$\sqrt{3}$）²．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．