Question

20．已知直線x-my+2m+1=0．
（1）求證：無論m為何實(shí)數(shù)，直線總經(jīng)過第二象限；
（2）為使直線不經(jīng)過第四象限，求m的取值范圍．
（3）若直線交x軸于負(fù)半軸、交y軸于正半軸，交點(diǎn)分別為A、B，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值，并求出此時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析 （1）直線x-my+2m+1=0可化為x+1+（2-y）m=0，由$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{2-y=0}\end{array}\right.$可得直線所過定點(diǎn)（-1，2）在第二象限，可得直線總經(jīng)過第二象限；
（2）由題意要使直線不經(jīng)過第四象限，則需直線無斜率或斜率＞0，解關(guān)于m的不等式可得；
（3）由方程可得截距，可得$S=\frac{1}{2}（2m+1）\frac{2m+1}{m}=\frac{1}{2}（4m+\frac{1}{m}）+2≥4$，由基本不等式等號(hào)成立的條件可得．

解答 解：（1）直線x-my+2m+1=0可化為x+1+（2-y）m=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{2-y=0}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直線過定點(diǎn)（-1，2），在第二象限，
∴直線總經(jīng)過第二象限；
（2）由（1）知直線直線過定點(diǎn)（-1，2），
要使直線不經(jīng)過第四象限，則需直線無斜率或斜率＞0，
∴m=0，或$\frac{1}{m}$＞0，解得m≥0；
（3）由題意可得m＞0，把x=0代入x-my+2m+1=0可得y=$\frac{2m+1}{m}$，
把y=0代入x-my+2m+1=0可得x=-（2m+1），
∴$S=\frac{1}{2}（2m+1）\frac{2m+1}{m}=\frac{1}{2}（4m+\frac{1}{m}）+2≥4$，
當(dāng)且僅當(dāng)$m=\frac{1}{2}$時(shí)“=”成立，
此時(shí)直線方程為y=2x+4，即2x-y+4=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的一般式方程和截距式方程，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．