Question

17．已知函數(shù)f（x）=m-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$（e≈2.718）在R上是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值，判斷f（x）單調(diào)性，并用定義法證明；
（2）求滿足不等式f（x）＞$\frac{e-1}{e+1}$的x的集合M．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可看出x增大時(shí)，f（x）增大，從而判斷出f（x）在R上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在R上單調(diào)遞增；根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）又在原點(diǎn)有定義，從而有f（0）=0，這樣即可得出m的值；
（2）將不等式轉(zhuǎn)化為：$\frac{1}{e+1}$＞$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽；
x增大時(shí)，e^x增大，-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$增大，f（x）增大，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2{（e}^{{x}_{1}}{-e}^{{x}_{2}}）}{{（e}^{{x}_{1}}+1）{（e}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴e^x1＜e^x2，e^x1-e^x2＜0；
又e^x1+1＞0，e^x2+1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
f（x）在R上為奇函數(shù)；
∴f（0）=m-$\frac{2}{{e}^{0}+1}$=m-1=0；
∴m=1；
（2）由f（x）=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$＞$\frac{e-1}{e+1}$，
得：$\frac{1}{e+1}$＞$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，解得：x＞1，
∴M=（1，+∞）．

點(diǎn)評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．