Question

2．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BD₁∥平面AEC；
（Ⅱ）證明：平面AEC⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC于F，連EF．可證EF∥D₁B，又EF?平面EAC，從而可求得BD₁∥平面EAC．
（Ⅱ）先證明AC⊥BD，有DD₁⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，可證明DD₁⊥AC，從而可證AC⊥平面D₁DB，即證明平面D₁DB⊥平面AEC．

解答 證明：（Ⅰ）BD交AC于F，連EF，
因?yàn)镕為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
所長(zhǎng)F為AC、BD的中點(diǎn)，
在DD₁B中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，
所以EF∥D₁B，
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC；
（Ⅱ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC
DD₁?平面D₁DB，BD?平面D₁DB，BD∩DD₁=D
∴AC⊥平面D₁DB
∵AC?平面AEC，
∴平面D₁DB⊥平面AEC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了轉(zhuǎn)化思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．