Question

17．已知點P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中垂線與⊙C交于點M，N．
（1）若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），求直線l的方程；
（2）求四邊形AMBN面積的范圍．

Answer 1

分析 （1）圓的方程化為標準方程，$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），可得P是AB的中點，即可求直線l的方程；
（2）四邊形AMBN面積=$\frac{1}{2}•8•|AB|$=4|AB|，求出|AB|的范圍，即可求四邊形AMBN面積的范圍．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-8y=0，可化為x²+（y-4）²=16，圓心為（0，4），半徑為4，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），∴P是AB的中點，
∵k_CP=$\frac{4-2}{0-2}$=-1，
∴k_AB=1，
∴直線l的方程為y-2=x-2，即x-y=0；
（2）四邊形AMBN面積=$\frac{1}{2}•8•|AB|$=4|AB|．
P是AB的中點時，|CP|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（2-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，|AB|_min=$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$，
AB是直徑時，|AB|_max=8，
∴四邊形AMBN面積的范圍是[8$\sqrt{2}$，32]．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查面積的計算，正確運用圓的性質(zhì)是關鍵．