Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x+a|-|x+3|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若x∈[0，3]時，f（x）≤4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-1時，不等式為|x+1|-|x+3|≤1，對x的取值范圍分類討論，去掉上式中的絕對值符號，解相應(yīng)的不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）依題意知，|x-a|≤x+7，由此得a≥-7且a≤2x+7，當(dāng)x∈[0，3]時，易求2x+7的最小值，從而可得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，不等式為|x+1|-|x+3|≤1．
當(dāng)x≤-3時，不等式化為-（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；
當(dāng)-3＜x＜-1時，不等式化為-（x+1）-（x+3）≤1，解得-2.5≤x＜-1；
當(dāng)x≥-1時，不等式化為（x+1）-（x+3）≤1，不等式必成立．
綜上，不等式的解集為[-2.5，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，3]時，f（x）≤4即|x-a|≤x+7，
由此得a≥-7且a≤2x+7．
當(dāng)x∈[0，3]時，2x+7的最小值為7，
所以a的取值范圍是[-7，7]．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．