Question

4．已知函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx-3cos²x，x∈R
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)整理求得函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．

解答 解：（1）∵y=sin²x+2sinxcosx-3cos²x
=$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x-3×$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin2x-2cos2x-1
=$\sqrt{5}$sin（2x-φ）-1，其中，tanφ=2，
∴函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵由（1）可得：y=$\sqrt{5}$sin（2x-φ）-1，其中，tanφ=2，
∴y_max=$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角公式和兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．