Question

10．已知平面區(qū)城D由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤4}\\{x-y≤0}\end{array}\right.$確定，M（x，y）為平面區(qū)域D內(nèi)的任意一點，另有一定點A（4，-2），則$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{AM}$的最小值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 令z=$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{AM}$=（x，y）•（x-4，y+2）=（x-2）²+（y+1）²-5，從而化簡可得z+5=（x-2）²+（y+1）²，作平面區(qū)域，從而利用數(shù)形結(jié)合求解即可．

解答 解：令z=$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{AM}$=（x，y）•（x-4，y+2）=（x-2）²+（y+1）²-5，
故z+5=（x-2）²+（y+1）²，
由題意作平面區(qū)域如下，
，
（x-2）²+（y+1）²表示了點A（2，-1）與陰影內(nèi)的點的距離的平方，
故d_min=$\frac{|2+1|}{\sqrt{2}}$，故d²=$\frac{9}{2}$，
故$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{AM}$的最小值為$\frac{9}{2}$-5=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積及線性規(guī)劃的變形應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．