Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+m•{2}^{mx}，x＜0}\end{array}\right.$是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（-1）=-f（1），求得m；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，令-x²+2^x=0，得到x=2，利用函數(shù)為奇函數(shù)，求出-2的函數(shù)值為0，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，所以f（-1）=-f（1），即1+m•2^-m=-（-1+2¹），解得m=-1；
（2）由（1）得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}-{2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，當(dāng)x＞0時(shí)，令-x²+2^x=0，得到x=2，又函數(shù)為奇函數(shù)所以x＜0時(shí)，x=-2，使得f（-2）=0，
所以方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根為2，0和-2；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)運(yùn)用；關(guān)鍵是利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)解題．