Question

4．已知平面上兩點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“單曲型直線”，下列直線中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=$\frac{4}{3}$x ④y=2x+1
是“單曲型直線”的是①②．

Answer 1

分析 由已知點P在以M、N為焦點的雙曲線的右支上，即$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$，（x＞0）．分別與①②③④中的直線聯(lián)立方程組，根據(jù)方程組的解的性質(zhì)判斷該直線是否為“單曲型直線”．

解答 解：∵|PM|-|PN|=6∴點P在以M、N為焦點的雙曲線的右支上，即$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$，（x＞0）．
對于①，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，消y得7x²-18x-153=0，
∵△=（-18）²-4×7×（-153）＞0，∴y=x+1是“單曲型直線”．
對于②，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，消y得x²=$\frac{15}{4}$，∴y=2是“單曲型直線”．
對于③，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=\frac{x}{4}}\end{array}\right.$，整理得144=0，不成立．∴$y=\frac{4}{3}x$不是“單曲型直線”．
對于④，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=2x+1}\end{array}\right.$，消y得20x²+36x+153=0，
∵△=36²-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“單曲型直線”．
故符合題意的有①②．
故答案為：①②．

點評 本題考查“單曲型直線”的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線定義的合理運用．