Question

16．設(shè)命題p：若實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²≤0，其中a＞0；命題q：實數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8≥0\end{array}\right.$
（1）若a=1且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別化簡命題p：a＜x＜3a；命題q：實數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8≥0\end{array}\right.$，解得2≤x≤3．
（1）若a=1，則p化為：1＜x＜3，由p∧q為真，可得p與q都為真．
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，可得q是p的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：命題p：若實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²≤0，其中a＞0，可得a＜x＜3a；命題q：實數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8≥0\end{array}\right.$，化為$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）（x+2）≤0}\\{（x+4）（x-2）≥0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤3}\\{x≥2或x≤-4}\end{array}\right.$，解得2≤x≤3．
（1）若a=1，則p化為：1＜x＜3，∵p∧q為真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2≤x≤3}\end{array}\right.$，解得2≤x≤3．
∴實數(shù)x的取值范圍為[2，3]．
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，
∴q是p的充分不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3≤3a}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2．
∴實數(shù)a的取值范圍是[1，2]．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．