Question

2．設a，b∈R，已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，0≤x＜2}\\{lo{g}_{16}x，x≥2}\end{array}\right.$，若關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有且只有7個不同實數(shù)根，則$\frac{a}$的取值范圍是（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 確定函數(shù)f（x）的性質，可得關于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7個不同實數(shù)根，則方程t²+at+b=0必有兩個根t₁，t₂，其中t₁=1，t₂∈（$\frac{1}{4}$，1），根據根與系數(shù)之間的關系，即可得出結論．

解答 解：由題意，f（x）在（-∞，-2]和[0，2]上是減函數(shù)，在[-2，0]和[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴x=0時，函數(shù)取極大值1，x=±2時，取極小值$\frac{1}{4}$，
|x|≥16時，f（x）≥1，
∴關于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7個不同實數(shù)根，
設t=f（x），
則方程t²+at+b=0必有兩個根t₁，t₂，其中t₁=1，t₂∈（$\frac{1}{4}$，1），
t₁+t₂=-a∈（$\frac{5}{4}$，2），
則-2＜a＜-$\frac{5}{4}$，∴-$\frac{4}{5}$＜$\frac{1}{a}$＜-$\frac{1}{2}$
∵b=-a-1，
∴$\frac{3}{4}$＜b＜1，
∴$\frac{a}$∈（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$），
故答案為：（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查分段函數(shù)的應用，考查函數(shù)的性質，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，正確理解函數(shù)的性質是關鍵．