Question

17．當(dāng)0＜x≤$\frac{1}{2}$時，4^x＜log_ax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x≤$\frac{1}{2}$時，不等式4^x＜log_ax恒成立，則在0＜x≤$\frac{1}{2}$時，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分析畫出指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，分析可得答案．

解答 解：當(dāng)0＜x≤$\frac{1}{2}$時，函數(shù)y=4^x的圖象如下圖所示：
若不等式4^x＜log_ax恒成立，則y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（$\frac{1}{2}$，2）點(diǎn)時，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故y=log_ax的圖象對應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．