Question

17．若復(fù)數(shù)z₁和z₂滿足：z₂=az₁i（a＞0），且|z₂|+|z₁|+|z₁-z₂|=8+4$\sqrt{2}$，z₁和z₂在復(fù)平面中對應(yīng)的點為Z₁和Z₂，坐標(biāo)原點為O，且$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$⊥$\overrightarrow{O{Z}_{2}}$，求△OZ₁Z₂面積的最大值，并指出此時a的值．

Answer 1

分析 設(shè)|z₁|=r，則|z₂|=ar，|z₁-z₂|=$\sqrt{1+{a}^{2}}$r，可得ar+r+$\sqrt{1+{a}^{2}}$r=8+4$\sqrt{2}$，利用a+1≥2$\sqrt{a}$，$\sqrt{1+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2a}$，可得$\sqrt{a}$r≤4，根據(jù)△OZ₁Z₂面積=$\frac{1}{2}r•ar$=$\frac{1}{2}a{r}^{2}$≤8，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)|z₁|=r，則|z₂|=ar，|z₁-z₂|=$\sqrt{1+{a}^{2}}$r，
∴ar+r+$\sqrt{1+{a}^{2}}$r=8+4$\sqrt{2}$，
∵a+1≥2$\sqrt{a}$，$\sqrt{1+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2a}$，
∴（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{a}$r≤8+4$\sqrt{2}$（a=1時取等號），
∴$\sqrt{a}$r≤4
∴△OZ₁Z₂面積=$\frac{1}{2}r•ar$=$\frac{1}{2}a{r}^{2}$≤8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，取等號，△OZ₁Z₂面積的最大值為8．

點評 本題考查復(fù)數(shù)知識，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，知識綜合性強．