Question

5．給出下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)f（x）=2^x-x²只有兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）已知集合A={x∈R|x²-4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠∅，則實(shí)數(shù)a∈（-∞，-2]；
（3）設(shè)x₁滿足2x+2^x=5，x₂滿足2x+2log₂（x-1）=5，則${x_1}+{x_2}=\frac{7}{2}$；
（4）已知點(diǎn)$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，3\sqrt{3}）$在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．
其中正確的序號(hào)的是（3），（4）．（把正確的序號(hào)全部寫上）

Answer 1

分析 （1）作出函數(shù)y=2^x，y=x²的圖象，由圖象知兩函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，
（2）若A∩B≠∅，A中至少含有一個(gè)負(fù)數(shù)，對(duì)方程x²-4ax+2a+6=0分類討論即可．
（3）分別代人得2x₁+2^x1=5，2x+2log₂（x-1）=5，2x₂+2log₂（x₂-1）=5，利用構(gòu)造設(shè)t=log₂（x₂-1），得出對(duì)數(shù)和指數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求解．
（4）把點(diǎn)代人，得出冪函數(shù)f（x）=x^-3，由冪函數(shù)的性質(zhì)和奇函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．

解答 （1）函數(shù)f（x）=2^x-x²，
作出函數(shù)y=2^x，y=x²的圖象，由圖象知兩函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，
∴f（x）=2^x-x²有3個(gè)零點(diǎn)，故命題（1）錯(cuò)誤；
（2）已知集合A={x∈R|x²-4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠∅，
∴A中至少含有一個(gè)負(fù)數(shù)，即方程x²-4ax+2a+6=0至少有一個(gè)負(fù)根．　
當(dāng)方程有兩個(gè)負(fù)根時(shí)，△≥0，4a＜0，2a+6＞0，解得：-3＜a≤1；　
當(dāng)方程有一個(gè)負(fù)根與一個(gè)正根時(shí)，△＞0，2a+6＜0，∴a＜-3；　　
當(dāng)方程有一個(gè)負(fù)根與一個(gè)零根時(shí)，△＞0，4a＜0，2a+6=0，∴a=-3；　　
∴a＜-3或-3＜a≤1或a=-3，
∴a≤-1，從而實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]，故錯(cuò)誤；
（3）設(shè)x₁滿足2x+2^x=5，x₂滿足2x+2log₂（x-1）=5，
x₁滿足：2x+2^x=5，2x₁+2^x1=5
x₂滿足：2x+2log₂（x-1）=5，2x₂+2log₂（x₂-1）=5
設(shè)t=log₂（x₂-1）
則x₂-1=2^t
∴x₂=1+2^t
∴2（1+2^t）+2t=5
∴2（t+1）+2^（t+1）=5
∴x₁和t+1都是方程2x+2^x=5的解
所以：x₁=t+1=log₂（x₂-1）+1=log₂（2x₂-2）
2x₂-2=2^（x1）
2x₂=2+2^（x1）
∴2x₁+2x₂=2x₁+2+2^（x1）
=2x₁+2+（5-2x₁）
=7
則${x_1}+{x_2}=\frac{7}{2}$，故正確；
（4）已知點(diǎn)$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，3\sqrt{3}）$在冪函數(shù)f（x）的圖象上，
設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^a，
∴3$\sqrt{3}$=$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{a}$，
∴a=-3，
則f（x）=x^-3，函數(shù)為奇函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞），故正確．
故答案為（3），（4）．

點(diǎn)評(píng) 考查了零點(diǎn)的概念，方程根的分類，冪函數(shù)的性質(zhì)．