Question

11．我們把函數(shù)y=f（x）圖象上的點到坐標(biāo)原點距離的最小值叫做函數(shù)y=f（x）的“中心距離”，已知函數(shù)g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的“中心距離”不小于$\sqrt{2}$，則實數(shù)a的取值范圍為[$\sqrt{2}$-1，+∞）．

Answer 1

分析 任取函數(shù)g（x）=x+$\frac{a}{x}$圖象上的一點P（x，x+$\frac{a}{x}$），由距離公式和基本不等式可得|OP|=$\sqrt{2{x}^{2}+\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2a}$≥$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$，再由題意可得$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$≥$\sqrt{2}$，解關(guān)于a的不等式可得．

解答 解：由題意任取函數(shù)g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）圖象上的一點P（x，x+$\frac{a}{x}$），
由兩點間的距離公式可得P到原點的距離|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+（x+\frac{a}{x}）^{2}}$
=$\sqrt{2{x}^{2}+\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2a}$≥$\sqrt{2\sqrt{2{x}^{2}•\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}}+2a}$=$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2x²=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$即x=±$\sqrt{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$時取等號，
∵“中心距離”不小于$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$≥$\sqrt{2}$，
解得a≥$\sqrt{2}$-1，
∴實數(shù)a的取值范圍為：[$\sqrt{2}$-1，+∞）
故答案為：[$\sqrt{2}$-1，+∞）

點評 本題考查距離公式，涉及新定義和基本不等式求最值，屬中檔題．