Question

6．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈R都有f（2-x）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x-1，若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 由f（2-x）=f（x）得出函數(shù)的周期，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），利用函數(shù)的周期性和偶函數(shù)的性質(zhì)，分別作出函數(shù)y=f（x）和y=log_a（x+1）的圖象，利用圖象確定a的取值范圍．

解答 解：對(duì)任意x∈R都有f（2-x）=f（x）
∴f（x）的周期是2，
且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x-1，
∴x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x-1，
若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
即f（x）和y=log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
畫出函數(shù)圖象，如圖示：
由圖象得：${log}_{a}^{3}$＞-1，解得；0＜a＜$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的相交問題是解決此類問題的基本方法．綜合性較強(qiáng)．