Question

1．如圖，點P（x₀，$\frac{p}{2}$）（x₀＞0）在拋物線x²=2py（p＞0）上．過P的直線PM，PN分別與拋物線交于點M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求x₀的值；
（Ⅱ）若PM，PN的斜率存在且傾斜角互補，試求直線MN的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將點P（x₀，$\frac{p}{2}$）（x₀＞0）代入拋物線的方程，解方程可得所求值；
（Ⅱ）可設(shè)直線PM的方程為y-$\frac{p}{2}$=k（x-p），PN的方程為y-$\frac{p}{2}$=-k（x-p），聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理可得M，N的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式，計算化簡整理，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）點P（x₀，$\frac{p}{2}$）（x₀＞0）在拋物線x²=2py（p＞0）上，
可得x₀²=2p•$\frac{p}{2}$，解得x₀=p；
（Ⅱ）由PM，PN的斜率存在且傾斜角互補，
可設(shè)直線PM的方程為y-$\frac{p}{2}$=k（x-p），
PN的方程為y-$\frac{p}{2}$=-k（x-p），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{p}{2}-kp}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$可得x²-2pkx-p²+2kp²=0，
由p+x_M=2pk，即x_M=2pk-p，
可得M（2pk-p，2pk²-2pk+$\frac{p}{2}$），
將k換為-k，可得N（-2pk-p，2pk²+2pk+$\frac{p}{2}$），
則直線MN的斜率為$\frac{2p{k}^{2}+2pk+\frac{p}{2}-2p{k}^{2}+2pk-\frac{p}{2}}{-2pk-p-2pk+p}$=$\frac{4pk}{-4pk}$=-1．

點評 本題考查拋物線的方程和應(yīng)用，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查直線的斜率公式的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．