Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^3x-1，g（x）=ln（1+2x）+ax，f（x）的圖象在x=$\frac{1}{3}$處的切線與g（x）的圖象也相切．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，求證：f（x）＞g（x）；
（3）設(shè)p，q，r∈（-$\frac{1}{2}$，+∞）且p＜q＜r，A（p，g（p）），B（q，g（q）），C（r，g（r）），求證：k_AB＞k_BC（其中k_AB，k_BC分別為直線AB與BC的斜率）．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，求得切線方程；設(shè)出與g（x）圖象相切的切點(diǎn)，求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)為（0，0），進(jìn)而得到a的值；
（2）由m（x）=f（x）-3x=e^3x-1-3x，求得導(dǎo)數(shù)，可得最小值0；再由n（x）=g（x）-3x=ln（1+2x）-2x，求得導(dǎo)數(shù)，可得最大值0，進(jìn)而得到證明；
（3）由直線的斜率公式可得k_AB=$\frac{g（q）-g（p）}{q-p}$，k_BC=$\frac{g（r）-g（q）}{r-q}$，構(gòu)造h（q）=（1+2q）（g（q）-g（p））-（3+2q）（q-p），證明h（q）＞0，可得k_AB＞$\frac{3+2q}{1+2q}$，同理可證：k_BC＜$\frac{3+2q}{1+2q}$，從而可得結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^3x-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3e^3x-1，
可得f（x）的圖象在x=$\frac{1}{3}$處的切線斜率為3，切點(diǎn)為（$\frac{1}{3}$，1），
即有切線的方程為y-1=3（x-$\frac{1}{3}$），即為y=3x，
設(shè)與g（x）的圖象相切的切點(diǎn)為（m，n），
可得n=3m=ln（1+2m）+am，
又g′（x）=$\frac{2}{1+2x}$+a，可得3=$\frac{2}{1+2m}$+a，
消去a，可得（1+2m）ln（1+2m）=2m，
令t=1+2m（t＞0），即有tlnt=t-1．
可令y=tlnt-t+1，導(dǎo)數(shù)y′=lnt，可得t＞1，函數(shù)y遞增；
0＜t＜1時(shí)，函數(shù)y遞減．
則t=1時(shí)，函數(shù)y=tlnt-t+1取得最小值0．
則tlnt=t-1的解為t=1，則m=0，
可得a=1；
（2）證明：當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，
由m（x）=f（x）-3x=e^3x-1-3x，可得m′（x）=3e^3x-1-3，
當(dāng)x＞$\frac{1}{3}$時(shí)，m（x）遞增；當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{3}$時(shí)，m（x）遞減．
可得x=$\frac{1}{3}$處，m（x）取得極小值，且為最小值0．
則f（x）≥3x；
由n（x）=g（x）-3x=ln（1+2x）-2x，可得n′（x）=$\frac{2}{1+2x}$-2=$\frac{-4x}{1+2x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，n（x）遞減；當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜0時(shí)，n（x）遞增．
即有x=0處n（x）取得極大值，且為最大值0，
則g（x）≤3x，
由于等號(hào)不同時(shí)取得，則f（x）＞g（x）；
（3）證明：k_AB=$\frac{g（q）-g（p）}{q-p}$，k_BC=$\frac{g（r）-g（q）}{r-q}$，
令h（q）=（1+2q）（g（q）-g（p））-（3+2q）（q-p），
則h′（q）=2 （g（q）-g（p））+（1+2q）g′（q）-2（q-p）-（3+2q）
=2 （g（q）-g（p））-2（q-p）=2（ln（1+2q）-ln（1+2p））
∵y=ln（1+2x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，且q＞p，
∴l(xiāng)n（1+2q）-ln（1+2p）＞0，∴h′（q）＞0．
∴h（q）在（p，q）上單調(diào)遞增，∴h（q）＞h（p）=0，
∴（1+2q）（f（q）-f（p））-（3+2q）（q-p）＞0，
∴（1+2q）（f（q）-f（p））＞（3+2q）（q-p），
∵q-p＞0，1+2q＞0，
∴$\frac{g（q）-g（p）}{q-p}$＞$\frac{3+2t}{1+2t}$，即k_AB＞$\frac{3+2q}{1+2q}$；
同理可證k_BC＜$\frac{3+2q}{1+2q}$．
∴k_AB＞k_BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得最值，考查直線的斜率大小比較，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．