Question

8．經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），且與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是6的直線有幾條？試分別求出它們的斜率．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，把點(diǎn)A（1，2）代入可得2a+b=ab．利用三角形的面積計(jì)算公式可得|ab|=12，聯(lián)立即可求得直線方程，進(jìn)一步得到直線的斜率．

解答 解：設(shè)直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，
把點(diǎn)A（1，2）代入直線方程可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，
得ab=2a+b，
又$S=\frac{1}{2}|ab|=6$，得ab=±12．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=12}\\{ab=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3+\sqrt{3}}\\{b=6-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=3-\sqrt{3}}\\{b=6+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=-12}\\{ab=-12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3+\sqrt{15}}\\{b=-6-2\sqrt{15}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-3-\sqrt{15}}\\{b=-6+2\sqrt{15}}\end{array}\right.$．
∴滿足條件的直線共有4條．
其斜率分別為：${k}_{1}=-\frac{6-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=-4+$2\sqrt{3}$，${k}_{2}=-\frac{6+4\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}}$=4-2$\sqrt{3}$，
${k}_{3}=-\frac{-6-2\sqrt{15}}{-3+\sqrt{15}}$=$8+2\sqrt{15}$，${k}_{4}=-\frac{-6+2\sqrt{15}}{-3-\sqrt{15}}$=$-8-2\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的截距式方程、三角形的面積計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．