Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，-cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并求當(dāng)$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$時f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若g$（{\frac{A}{2}}）$=1，a=2，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期，
當(dāng)$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$時，可求-$\frac{π}{3}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$，從而可得f（x）的取值范圍．
（Ⅱ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求g（x）=2cos2x．由g（$\frac{A}{2}$）=2cosA=1，結(jié)合范圍0＜α＜π，可求A的值，由余弦定理可求bc，從而有三角形面積公式即可得解．

解答 解：（I）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
當(dāng)$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$時，-$\frac{π}{3}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$，所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）的取值范圍為：[-1，2]…6分
（Ⅱ）∵g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
∴g（$\frac{A}{2}$）=2cosA=1，cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜α＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-2bc$•\frac{1}{2}$，
∴4=（b+c）²-2bc-bc，4=16-3bc，
∴bc=4
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$…12分

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，綜合性較強，屬于基本知識的考查．