Question

20．如圖，C是⊙O的直徑AB上一點，CD⊥AB，與⊙O相交于點D，與弦AF交于點E，與BF的延長線交于點G，GT與⊙O相切于點T．
（Ⅰ）證明：CE•CG=CD²；
（Ⅱ）若AC=CO=1，CD=3CE，求GT．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長DC與圓O交于點M，利用相交弦定理，結(jié)合Rt△ACE∽Rt△GBC，證明：CE•CG=CD²；
（Ⅱ）若AC=CO=1，CD=3CE，求得CG=3CD，利用切割線定理求GT．

解答 （Ⅰ）證明：延長DC與圓O交于點M，
因為CD⊥AB，
所以CD²=CD•CM=AC•BC，
因為Rt△ACE∽Rt△GBC，所以$\frac{AC}{CE}$=$\frac{CG}{BC}$，
即AC•BC=CE•CG，故CD²=CE•CG．…（5分）
（Ⅱ）解：因為AC=CO=1，所以CD²=AC•BC=3，
又CD=3CE，由（Ⅰ）得CG=3CD，
GT²=GM•GD=（CG+CM）•（CG-CD）=（CG+CD）•（CG-CD）
=CG²-CD²=8CD²=24，故GT=2$\sqrt{6}$．…（10分）

點評 本題考查相交弦定理、切割線定理，考查三角形相似的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．