Question

12．函數(shù)f（x）=sin² x+2cos²x-cosx+2．
（1）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]求函數(shù)f（x）的最值及對(duì)應(yīng)的x的值；
（2）若不等式[f（x）-m]²＜1在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得結(jié)論．
（2）由（1）中求得的f（x）的范圍得到$\frac{11}{4}$-m≤f（x）-m≤3-m，再由不等式-1＜f（x）-m＜1，在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，利用兩不等式端點(diǎn)值間的關(guān)系列不等式組求解m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=sin² x+2cos²x-cosx+2
=cos²x-cosx+3
=（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得：cosx∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（x）可看作關(guān)于cosx∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]的二次函數(shù)，
∴當(dāng)cosx=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取最小值$\frac{11}{4}$；當(dāng)cosx=0，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取最大值3．
（2）由（1）知，當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，$\frac{11}{4}$-m≤f（x）-m≤3-m，
要使[f（x）-m]²＜1在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，即-1＜f（x）-m＜1，在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
只需：$\left\{\begin{array}{l}{3-m＜1}\\{\frac{11}{4}-m＞-1}\end{array}\right.$，解得2＜m＜$\frac{15}{4}$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)公式的應(yīng)用，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，考查了三角函數(shù)值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，體現(xiàn)了集合思想在解題中的應(yīng)用，是中檔題．