Question

3．已知函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{a}{2}$x²-（2a+1）x．
（1）當a=1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導數(shù)，確定切線的斜率，即可求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=1時，f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$x²-3x，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+x-3，
∴f′（1）=0，
∵f（1）=-$\frac{5}{2}$，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程是y=-$\frac{5}{2}$；
（2）f′（x）=$\frac{2}{x}$+ax-（2a+1）=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$．
0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0可得x＜2或x＞$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0可得2＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，2），（$\frac{1}{a}$，+∞）；單調遞減區(qū)間是（2，$\frac{1}{a}$）；
a=$\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）；
a＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0可得x＞2或x＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0可得$\frac{1}{a}$＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）；單調遞減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，2）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．