Question

10．（1）實(shí)數(shù)a，b滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+b+1＜0}\\{3a+b+9＞0}\end{array}\right.$，則在坐標(biāo)平面aOb內(nèi)，點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域S，求目標(biāo)函數(shù)z=2a-b的取值范圍．
（2）過(guò)點(diǎn)（-5，1）的光線經(jīng)x軸反射后的光線過(guò)區(qū)域S，求反射光線所在直線l經(jīng)過(guò)區(qū)域S內(nèi)的整點(diǎn)（即橫縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案；
（2）求出可行域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合過(guò)點(diǎn)（-5，1）的光線經(jīng)x軸反射后的光線必過(guò)點(diǎn)（-5，-1），再由直線上的兩點(diǎn)求得直線l的方程．

解答 解：（1）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+b+1＜0}\\{3a+b+9＞0}\end{array}\right.$作出可行域如圖陰影部分所示，
聯(lián)立方程組求得圖中A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，3），（-3，0），（-1，0），
令z=2a-b，則直線b=2a-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取得最小值，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)z取得最大值，即z_min=-11，z_max=-2，
又A，B，C三點(diǎn)的值沒(méi)有取到，∴-11＜z＜-2；
（2）過(guò)點(diǎn)（-5，1）的光線經(jīng)x軸反射后的光線必過(guò)點(diǎn)（-5，-1），由圖可知可能滿足條件的整點(diǎn)為
（-3，1），（-3，2），（-2，2），（-2，1），再結(jié)合不等式知點(diǎn)（-3，1）符合條件，
∴此時(shí)直線方程為：$y+1=\frac{1-（-1）}{-3-（-5）}（x+5）$，即y=x+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．