Question

5．（1）在平面直角坐標系xOy中，設直線y=$\sqrt{3}$x+2^m和圓x²+y²=n²相切，其中m，n∈N^*，且0＜|m-n|≤1，若函數f（x）=m^x+1-n的零點x₀∈（k-2，k-1），k∈Z，求整數k的值．
（2）設a，b∈R且不為零，若直線ax+by-1=0與x軸相交于點A，與y軸相交于B，且l與圓x²+y²=k²相交所得弦的長為2，O為坐標原點，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據直線和圓相切知圓心到直線的距離等于半徑，得到關于m和n的一個關系，又有m，n∈N，0＜|m-n|≤1，得到m和n的值，代入所給的函數式，那么本題就變化為求一個函數的零點的范圍，兩邊取對數，寫出x的表示式，根據對數的圖象得到范圍．
（2）利用勾股定理，確定a²+b²=$\frac{1}{3}$，表示出△AOB面積，利用基本不等式求△AOB面積的最小值．

解答 解：（1）由直線y=$\sqrt{3}$x+2^m和圓x²+y²=n²相切有n=$\frac{{2}^{m}}{\sqrt{3+1}}$=2^m-1，
又m，n∈N^*，且0＜|m-n|≤1，
∴m=3，n=4，
∴函數f（x）=m^x+1-n=3^x+1-4，
要求函數的零點所在的區(qū)間，
令f（x）=0，
即3^x+1-4=0，
∴3^x+1=4，
∴x+1=log₃⁴，
∴x=log₃⁴-1
∵log₃⁴∈（1，2）
∴x∈（0，1）
而函數f（x）=m^x+1-n的零點x₀∈（k-2，k-1），k∈Z，∴k=2…（7分）
（2）直線與兩坐標軸的交點坐標為A（0，$\frac{1}$），B（$\frac{1}{a}$，0），由（1）知k=2，所以園的半徑為2，
又直線與圓相交所得的弦長為2，則圓心到直線的距離d滿足d²=r²-1²=4-1=3，
故$d=\sqrt{3}$，
即圓心到直線的距離d=$\frac{|-1|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
∴a²+b²=$\frac{1}{3}$，
S=$\frac{1}{2}|\frac{1}{a}||\frac{1}|$=$\frac{1}{2|ab|}$≥$\frac{1}{{a}^{2}+^{2}}$=3，當且僅當|a|=|b|=$\frac{1}{6}$時取等號，
∴△AOB面積的最小值為3．…．（14分）

點評 本題考查直線和圓的位置關系，考查函數的零點，解決本題還要有歸納整理的能力，本題是一個綜合題，運算量不大但是解題時技巧性比較強，是一個好題．