Question

16．設(shè)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若tan∠AMB=2$\sqrt{2}$，則|AB|=8．

Answer 1

分析 設(shè)AB方程y=k（x-1），與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，利用tan∠AMB=2$\sqrt{2}$，建立k的方程，即可得出結(jié)論．．

解答 解：焦點(diǎn)F（1，0），M（-1，0），設(shè)AB方程y=k（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵tan∠AMB=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}{1+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
整理可得2k（x₁-x₂）=2$\sqrt{2}$（x₁+1）（x₂+1）+2$\sqrt{2}$y₁y₂…（*）
y=k（x-1），與y²=4x聯(lián)立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
可得x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²=1，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，y₁y₂=-p²=-4
代入（*）可得2k（x₁-x₂）=2$\sqrt{2}$（$\frac{4}{{k}^{2}}$），∴x₁-x₂=$\frac{4\sqrt{2}}{{k}^{3}}$，
∴（$\frac{4}{{k}^{2}}$+2）²-4=（$\frac{4\sqrt{2}}{{k}^{3}}$）²，
∴k=±1，
∴x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=6，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-4}$=8
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．