Question

4．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，AB=AD=AA₁=2．底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，∠BCD=45°．
（]）求三棱錐C-B₁C₁D₁的體積；
（2）求證：B₁D₁⊥平面CDD₁C₁．

Answer 1

分析 （1）求出底面積，即可求三棱錐C-B₁C₁D₁的體積；
（2）利用線面垂直的判定定理證明B₁D₁⊥平面CDD₁C₁．

解答 （1）解：∵AB=AD=2．底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴B₁C₁=4，
∵AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，
∴三棱錐C-B₁C₁D₁的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×2$=$\frac{8}{3}$；
（2）證明：△B₁C₁D₁中，B₁C₁=4，B₁D₁=D₁C₁=2$\sqrt{2}$，
∴B₁C₁²=B₁D₁²+D₁C₁²，
∴B₁D₁⊥D₁C₁，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，
∴CC₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，
∴CC₁⊥B₁D₁，
∵D₁C₁∩CC₁=C₁，
∴B₁D₁⊥平面CDD₁C₁．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐C-B₁C₁D₁的體積，線面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．