Question

6．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ是常數(shù)，且A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①最小正周期為π；
②將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
③f（0）=1；
④$f（\frac{12π}{11}）＜f（\frac{14π}{13}）$；
⑤$f（x）=-f（\frac{5π}{3}-x）$，其中正確的是①④⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象的周期和特殊點求出f（x）的解析式，根據(jù)f（x）的單調(diào)性，對稱性及圖象變換進(jìn)行判斷．

解答 解：由圖可知f（x）的最小值為-2，∴A=2．
$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，∴T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．故①正確；
∵f（$\frac{7π}{12}$）=-2，∴2sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=-2，∴$\frac{7π}{6}$+φ=$\frac{3π}{2}$+2kπ，∴φ=2kπ+$\frac{π}{3}$．令k=0得φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）．故②不正確；
f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，故③錯誤；
令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，解得x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，∴f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$．k∈Z．
∴f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{13π}{12}$對稱，∵$f（\frac{13π}{12}）$=2sin（$\frac{13π}{6}+\frac{π}{3}$）=2，
∵$\frac{12π}{11}-\frac{13π}{12}=\frac{π}{12×11}＞\frac{13π}{12}-\frac{14π}{13}=\frac{π}{13×12}$，∴$f（\frac{12π}{11}）＜f（\frac{14π}{13}）$，故④正確；
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，∴f（x）的對稱中心為（-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0）．
∴f（x）關(guān)于$（\frac{5π}{6}，0）$對稱，
∵點（x，y）關(guān)于$（\frac{5π}{6}，0）$對稱的點為（$\frac{5π}{3}-x$，-y），
∴f（x）=-f（$\frac{5π}{3}-x$），故⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，屬于中檔題．