Question

7．直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1相交于A、B兩點．
（1）當a為何值時，以AB為直徑的圓過原點？
（2）當a為何值時，A，B兩點分別在雙曲線的兩支上？當a為何值時，A，B兩點在雙曲線的同一支上？

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點的橫縱坐標的積，由以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點得到x₁x₂+y₁y₂=0，代入后即可求得a的值，最后驗證是否符合判別式大于0．
（2）由△＞0得，a²＜6，且a$≠±\sqrt{3}$，方程組有兩組有兩解，此時直線與雙曲線有兩個交點．由此能夠得出結(jié)論．

解答 解：（1）聯(lián)立直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1，消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0①．
∵直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1相交于A、B兩點，
∴a²-3≠0，且△=4a²+8（3-a²）＞0，得：a²＜6，且a$≠±\sqrt{3}$，
設(shè)交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{2a}{{a}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{2}{{a}^{2}-3}$，
∴y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²•x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=1
∵以AB為直徑的圓過坐標原點∴OA⊥OB，
故OA與OB的斜率的乘積為-1．
∴x₁x₂=-y₁y₂，即$\frac{2}{{a}^{2}-3}$=-1，
解得a=±1．
滿足a²＜6，且a$≠±\sqrt{3}$；
方程組有兩組有兩解，
若要A、B在雙曲線同一支上，則方程①的兩根同號，
故x₁•x₂=$\frac{2}{{a}^{2}-3}$＞0，
∴a＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$．
∴當-$\sqrt{6}$＜a＜-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{6}$時，A、B兩點在雙曲線的同一支上；
當-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$時，A、B兩點在雙曲線的兩支上．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是中檔題．