【題目】如圖，在菱形中，沿對角線將△折起，使之間的距離為若分別為線段上的動點(diǎn)

（1）求線段長度的最小值；

（2）當(dāng)線段長度最小時，求直線與平面所成角的正弦值

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，因?yàn)?/span>，所以，所以為直角三角形所以，所以平面．

以分別為軸

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由空間向量計算求出，由二次函數(shù)性質(zhì)求最小值即可．

（2）由空間向量求出平面的法向量與向量，即可求之．

試題解析：取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，

，，

因?yàn)?/span>，所以，

所以為直角三角形所以，

所以平面． 2分

以分別為軸，建立如圖

所示空間直角坐標(biāo)系，則， 3分

（1）設(shè)，

則

， 5分

當(dāng)時，長度最小值為． 6分

（2）由（1）知，設(shè)平面的一個法向量為，

由，得，化簡得，

取，設(shè)與平面所成角為，則．

故直線PQ與平面ACD所成角的正弦值為． 10分

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個寓言故事。通過講述一只烏鴉喝水的故事，告訴人們遇到困難要運(yùn)用智慧、認(rèn)真思考才能讓問題迎刃而解的道理。如圖2所示，烏鴉想喝水，發(fā)現(xiàn)有一個錐形瓶，上面部分是圓柱體，下面部分是圓臺，瓶口直徑為3厘米，瓶底直徑為9厘米，瓶口距瓶頸為厘米，瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為厘米現(xiàn)將1顆石子投入瓶中，發(fā)現(xiàn)水位線上移厘米，若只有當(dāng)水位線到達(dá)瓶口時，烏鴉才能喝到水，則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是？（石子體積均視為一致）

圓臺體積公式：，其中，為圓臺高，為圓臺下底面半徑，為圓臺上底面半徑（ ）

A.2顆B.3顆C.4顆D.5顆

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【題目】河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”．把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火居南；三八為朋，為木居?xùn)|；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中．“河圖”將一到十分成五行屬性分別為金，木，水，火，土的五組，在五行的五種屬性中，五行相克的規(guī)律為：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的規(guī)律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機(jī)抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且所在直線的斜率之積等于，記頂點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且為的重心（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：的面積為定值，并求出該定值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點(diǎn)為M，N，若圓心C在軸上運(yùn)動時，在軸正半軸上總存在定點(diǎn)，使得為定值，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為.令.

（1）若.

①當(dāng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②設(shè)，，試比較與的大��？并證明你的結(jié)論.

（2）問集合中最多有多少個元素？并證明你的結(jié)論.

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【題目】第18屆國際籃聯(lián)籃球世界杯（世界男子籃球錦標(biāo)賽更名為籃球世界杯后的第二屆世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中國的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.中國隊(duì)12名球員在第一場和第二場得分的莖葉圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A.第一場得分的中位數(shù)為B.第二場得分的平均數(shù)為

C.第一場得分的極差大于第二場得分的極差D.第一場與第二場得分的眾數(shù)相等

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【題目】如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段垂直平分線上的一點(diǎn)，且，固定邊，在平面內(nèi)移動頂點(diǎn)，使得的內(nèi)切圓始終與切于線段的中點(diǎn)，且、在直線的同側(cè)，在移動過程中，當(dāng)取得最小值時，的面積為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程(為參數(shù)).

（1）求曲線在直角坐標(biāo)系中的普通方程；

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