Question

8．已知A（-1，0），B（0，2），動點P（x，y），S_△PAB=S
（Ⅰ）若x∈{-1，0，1，2}，y∈{-1，0，1}，求S≤1的概率；
（Ⅱ）若x∈[0，2]，y∈[0，2]，求S≤1的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率公式，利用列舉法進行求解即可；
（Ⅱ）利用幾何概型的概率公式，求出對應(yīng)的面積進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)S≤1為事件A，x∈{-1，0，1，2}，y∈{-1，0，1}
所以所有P（x，y）的所有可能點的集合列表表示為：

	-1	0	1
-1	（-1，-1）	（-1，0）	（-1，1）
0	（0，-1）	（0，0）	（0，1）
1	（1，-1）	（1，0）	（1，1）
2	（2，-1）	（2，0）	（2，1）

為12個基本事件…（2分）A，B所在直線的方程為$\frac{x}{-1}+\frac{y}{2}=1$，即2x-y+2=0
設(shè)P（x，y）到AB的距離為d，${S_{△PAB}}=S=\frac{1}{2}|AB|d≤1$$|AB|=\sqrt{5}$，所以$d≤\frac{2}{{\sqrt{5}}}$…（3分）
P（x，y）到AB的距離為$d=\frac{|2x-y+2|}{{\sqrt{5}}}$
所以|2x-y+2|≤2即可
即-2≤2x-y+2≤2，也即-4≤2x-y≤0即可
上面基本事件中，符合-4≤x-2y≤0的所有點的集合為{（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，0），（0，1）}
共5個基本事件，所以$P（A）=\frac{5}{12}$…（6分）
（Ⅱ） x∈[0，2]，y∈[0，2]
可作出所有P（x，y）表示的線形區(qū)域C如右圖${S_{△PAB}}=S=\frac{1}{2}|AB|d≤1$$|AB|=\sqrt{5}$，
所以$d≤\frac{2}{{\sqrt{5}}}$A，B所在直線的方程2x-y+2=0
到直線2x-y+2=0的距離恰等于$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$的所有點在與A，B平行的直線上，設(shè)為2x-y+m=0，
根據(jù)兩平行線的距離公式$d=\frac{|m-2|}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$
解得m=0或4（舍去）
所以符合要求的點的區(qū)域為2x-y=0和x≥0及y≤2的公共區(qū)域
可解得2x-y=0與y=2的交點為（1，2）
其面積為${S^'}=\frac{1}{2}×2×1=1$
所以，由幾何概型可知：$P（A）=\frac{1}{4}$…（12分）

點評 本題主要考查古典概型和幾何概型概率的計算，利用列舉法以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．