Question

15．已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)為A（-1，4），B（-2，-1），C（2，3）．
（1）求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標(biāo)
（2）在△ACD中，求CD邊上的高線所在直線方程；
（3）求△ACD的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC的中點為M，則由M為AC的中點求得M（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），設(shè)點D坐標(biāo)為（x，y），由已知得M為線段BD中點，求得D的坐標(biāo)．
（2）求得直線CD的斜率K_CD，可得CD邊上的高線所在直線的斜率為$-\frac{1}{5}$，從而在△ACD中，求得CD邊上的高線所在直線的方程0．
（3）求得$|CD|=\sqrt{{{（2-3）}^2}+{{（3-8）}^2}}=\sqrt{26}$，用兩點式求得直線CD的方程，利用點到直線的距離公式求得點A到直線CD的距離，可得△ACD的面積．

解答 解：（1）由于平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)為A（-1，4），B（-2，-1），C（2，3），
設(shè)AC的中點為M，則M（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
設(shè)點D坐標(biāo)為（x，y），由已知得M為線段BD中點，有$\left\{\begin{array}{l}\frac{-2+x}{2}=\;\frac{1}{2}\\ \frac{-1+y}{2}=\frac{7}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=8\end{array}\right.$，所以，D（3，8）．
（2）∵直線CD的斜率K_CD=$\frac{8-3}{3-2}$=5，所以CD邊上的高線所在直線的斜率為$-\frac{1}{5}$，
故△ACD中，CD邊上的高線所在直線的方程為$y-4=-\frac{1}{5}（x+1）$，即為x+5y-19=0．
（3）∵C（2，3），D（3，8），∴$|CD|=\sqrt{{{（2-3）}^2}+{{（3-8）}^2}}=\sqrt{26}$，
由C，D兩點得直線CD的方程為：5x-y-7=0，∴點A到直線CD的距離為$\frac{|-5-4-7|}{\sqrt{26}}$=$\frac{16}{\sqrt{26}}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|CD|•d（A，CD）=\frac{1}{2}•\sqrt{26}•\frac{16}{{\sqrt{26}}}=8$．

點評 本題主要考查直線的斜率公式，兩直線垂直的性質(zhì)，用點斜式求直線的方程，點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．