【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)令,討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若,正實(shí)數(shù)滿足,證明: .
【答案】(1)2x﹣y﹣1=0;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算,求出切線方程即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論 的范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的極值即可討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);;
(Ⅲ)得到 令,則,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出,證明結(jié)論即可.
試題解析:
(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)= lnx+x,
則f(1)=1,所以切點(diǎn)為(1,1),
又f′(x)= +1,則切線斜率k = f′(1)=2,
故切線方程為:y﹣1=2(x﹣1),即2x﹣y﹣1=0
(2)g(x)=f(x)﹣(ax﹣1)=lnx﹣ax2+(1﹣a)x+1,
所以g′(x)=﹣ax+(1﹣a)=,
當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)閤>0,所以g′(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)上是遞增函數(shù)
而
所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)0<a<1時(shí),g′(x)=,
令g′(x)=0,得x=,
所以當(dāng)x∈(0,)時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),g′(x)<0,
因此函數(shù)g(x)在x∈(0,)是增函數(shù),在(,+∞)是減函數(shù),
∴x=時(shí),g(x)有極大值g()=﹣lna>0
又
∴當(dāng)0<a<1時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
(3)證明:當(dāng)
所以
即為:
所以
令
所以
所以
所以
因?yàn)?/span>
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖四邊形 中, 為的 內(nèi)角 的對(duì)邊,且滿足 .
(Ⅰ)證明: 成等差數(shù)列;
(Ⅱ)已知 求四邊形 的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:①已知 ,“ 且 ”是“ ”的充分條件;
②已知平面向量 , 是“ ”的必要不充分條件;
③已知 ,“ ”是“ ”的充分不必要條件;
④命題 “ ,使 且 ”的否定為 “ ,都有 且 ”.其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在圓: 上,而為在軸上的投影,且點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若是曲線上兩點(diǎn),且, 為坐標(biāo)原點(diǎn),求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2018福建福州市一中高三上學(xué)期期中考試】已知橢圓: 的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,且與軸交點(diǎn)恰為中點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)過作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓于點(diǎn)和.求四邊形的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)當(dāng),不等式恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2017年第一季度五省情況圖,則下列陳述正確的是( )
①2017年第一季度 總量和增速均居同一位的省只有1個(gè);
②與去年同期相比,2017年第一季度五個(gè)省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長;
③去年同期的總量前三位是江蘇、山東、浙江;
④2016年同期浙江的總量也是第三位.
A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
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【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且,求證.
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【題目】已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為,且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是.
(1)求的最小值及此時(shí)函數(shù)的最小正周期、初相;
(2)在(1)的情況下,設(shè),求函數(shù)在上的最大值和最小值.
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